lunes, 21 de septiembre de 2009

La lotería búlgara repite combinación en 2 sorteos consecutivos

Por lo visto los números ganadores son extraídos por una máquina, lo cual lo hace que sea mucho más sospechoso. Y para más casualidad, en el primer sorteo no hubo acertantes, pero en el segundo hubo 18. De todos modos, hay un dato en la noticia que no me termina de convencer.

Según indican, las probabilidades de que ocurra este suceso son de una entre cuatro millones (datos facilitados por expertos consultados por los medios locales), y a mí esto me parece muy poco. Una entre cuatro millones podrían ser las probabilidades de que saliera una combinación determinada, pero las probabilidades de que salga la misma combinación de nuevo sería esa cantidad al cuadrado.

Vamos a hacer cuentas.

Para calcular el número de combinaciones posibles de 6 elementos de 42 posibles sin repetición, hay que usar la siguiente fórmula:



El símbolo '!' indica el factorial de un número, que es el propio número multiplicado por todos los números naturales menores que él (4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24). Podéis calcular el factorial de un número con la calculadora científica de Windows, escribiendo el número y pulsando a continuación '!'. Por lo tanto, el número de combinaciones de 6 elementos de 42 sin repeticiones ,C(42,6), sería de 5.245.786.

Las probabilidades de que salga una combinación determinada sería de una entre cinco millones (aprox.), por lo tanto, las probabilidades de que salga una segunda vez serían de una entre 27.518.270.757.796 (27 billones). Un poco sospechoso.

9 comentarios:

Elrohir dijo...

En realidad, ambos tenéis razón.
Tu estas calculando la probabilidad de que salga un numero determinado dos veces. Pero existen 5.245.786 posibles casos en que se repiten numeros. (todos los numeros que pudieron haber salido la primera vez)
Siendo esos casos disjuntos (si ocurre uno no puede ocurrir el otro) la posibilidad de la conjunción de ambos (uno o el otro) es la suma de las probabilidades individuales.
Asi pues, sea el numero A y el numero B. la probabilidad de que A salga 2 veces es 1/(5.245.786)^2. La probabilidad de que B salga dos veces es 1/(5.245.786)^2, etc...
La probabilidad de que un numero cualquiera salga dos veces, es la la probabilidad de salir 2 veces un numero determinado, por el numero de posibles 'numeros determinados' que pudieron haber sido.
5.245.786*1/(5.245.786)^2= 1/5.245.786
(lease 5kk [casos posibles] * 1/5kk^2 [probabilidad de uno de esos casos])
QED ;P

n.vázquez dijo...

Dos trenes salen de distintas estaciones a la misma hora. Ambos recorren una distancia x en 30minutos, pero uno de ellos salió 5 minutos y 30 segundos después del otro. Si el tren que salió primero iba a una velocidad de 143 km/h y el segundo transportaba un depósito de agua cuyo grifo abierto dejaba salir el líquido a un promedio de 16 litros por segundo,¿Cómo se llamaba el cuñado de la prima de la asistenta de Palomo Linares?

Nesta dijo...

@Elrohir, no es un numero determinado dos veces, sino una combinación de 6 números determinados, sin repeticiones, 2 veces. Creo que es distinto, aunque no he entendido del todo tu expliación. De cualquier manera, sigo pensando que 1 entre 4 millones son demasiadas probabilidades de que pase, es una cuestión de intuición.

@n.vazquez, Luis.

Aloisius dijo...

Venía a decir lo mismo que ha dicho Elrohir. Como ex-profe de estadística, tenía que venir a hacer de pedante, pero me han quitado el sitio. Y si lo que pasa es que uno entre cinco millones te parece demasiado sospechoso que ocurra, trata de pensar cuantos sorteos de lotería ha habido en el mundo hasta hoy.

Nesta dijo...

@Aloisius, lo sospechoso no es que se acierte una combinación, lo sospechoso es que se repita dos semanas consecutivas y que la segunda semana acierten 18 personas, en un país con unos 7 millones de habitantes. Lo que no tengo claro es si mis cálculos son correctos, ¿la probabilidad de que se repitan los números de la lotería en dos sorteos es de 1 entre 27 billones, o hay que calcularlo de otra forma?

Elrohir dijo...

@Nesta la primera parte te ha confundido un poco. llamalo un número una combinación de 6 números o una piara de ornitovejas. El caso es que por combinatoria has calculado bien, en cada sorteo hay 5.245.786 casos posibles independientemente de como se llamen estos casos la solución estadística es la misma.
La probabilidad de que suceda un caso entre 5.245.786 es exacatamente una entre 5.245.786. Y la probabilidad de que salga dos veces es una entre 5.245.786^2. Todo eso estamos de acuerdo.
Pero la probabilidad de repetir es la suma de las probabilidades de cada repeticion que puede hacerse.
Supongamos un caso mas sencillo: un sorteo entre solo cinco soluciones posibles A B C D E. La probabilidad de A (idem BCDE) es 1/5 (Llamemosla Pa). La probabilidad de A dos veces es 1/25 (llamemosla Pa2, y a los respectivos Pb2 etc...).
La probabilidad de una repeticion cualquiera es la suma de las probabilidades de cada repeticion distinta:
P{repeticion}= Pa2+Pb2+Pc2+Pd2+Pe2 = 5* 1/25 = 1/5
Es por esto que la probabilidad de repetir un sorteo suele coincidir con la probabilidad de sacar una combinacion una sola vez, aunque en realidad el calculo correcto tiene en cuenta la probabilidad de sacar un numero dos veces por todos los numeros posibles...
PD: obviamente todo esto solo se cumple bajo ciertas suposiciones matematicas que no explicaré aqui. para los entendidos son, entre otras, disjuncion de los eventos y distribución uniforme.

Aloisius dijo...

@Nesta, que haya 18 acertantes la segunda vez se explica más por psicología que por estadística. Estoy seguro que los 18 pensaron: "Es igual de probable que mañana salga la combinación de hoy que otra cualquiera" (en esto acertaban). "Voy a jugar la combinación de ayer, que seguro que no se le ocurre a nadie hacer eso, y me quedo el premio solo para mi" (en esto se equivocaban).

Y una explicación más sencilla sobre la probabilidad de que salga dos dias seguidos la misma combinación. Lo único que tienes que pensar es qué probabilidad hay de que mañana salga la misma combinación que hoy. La probabilidad es la misma que de que salga cualquier otro número. Por lo tanto, una entre cinco millones. Tú lo que calculas es que un numero determinado salga dos dias seguidos. Por ejemplo, que salga en 1, 2, 3, 4, 5, 6, hoy y mañana. Eso es una entre veintisiete millones.

A ver si con otro ejemplo está más claro. Cual es la probabilidad de que en una moneda salga dos veces lo mismo? La tiro una vez, sale cara. La probabilidad de que salga otra vez cara es 1/2. Si hubiera salido cruz, lo mismo. En cambio, la probabilidad de que salga dos veces cara es 1/4, 1/2 para la primera cara y 1/2 para la segunda.

No sé si he aclarado algo, pero espero que sí.

Aloisius dijo...

Veintisiete billones, con b de burro, como yo.

Nesta dijo...

@Elrohir, @Aloisius, os habéis explicado perfectamente, ahora sí lo he entendido, lleváis razón.
Me ha confundido como está redactada la noticia, que habla de las probabilidades de acertar la combinación, como si fueran las probabilidades de que salga 2 veces seguidas.